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Hier ist nicht von einem System die Rede, sondern von einer Systematik. Darüber, was eine Zahl ist, herrscht Chaos.
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Ein Additionssystem ist ein Zahlensystem, bei dem sich der Wert einer Zahl durch Addieren der Werte ihrer Ziffern errechnet. Im Gegensatz dazu spielt bei einem Stellenwertsystem auch die Position der Ziffern eine Rolle.
Ein einfaches Beispiel für ein Additionssystem ist die Strichliste, ein Unärsystem: Hier gibt es nur eine Ziffer, beispielsweise den vertikalen Strich „|“. Eine Zahl wird als Folge von Strichen dargestellt, wobei der Wert einer Zahl der Anzahl der Striche entspricht. Die dezimale Zahl 3 zum Beispiel wird in diesem System als ||| geschrieben. Eine solche Schreibweise wird aber bei großen Zahlen schnell unübersichtlich, so dass die Notwendigkeit erwächst, weitere Ziffern einzuführen.
Im Laufe der Zeit wurden verschiedene additive Zahlschriften entwickelt. Bei den heute noch verwendeten Römischen Zahlen gibt es sieben Ziffern und zwar I, V, X, L, C, D und M. Diesen entsprechen die Werte 1, 5, 10, 50, 100, 500 und 1000. Mit Ausnahme der Subtraktionsschreibweise spielt die Reihenfolge der Ziffern einer römischen Zahl keine Rolle für den Wert der Zahl, wenngleich es üblich ist, die Ziffern von links nach rechts absteigend zu ordnen. Prinzipiell sind aber die drei Zahlen XII, IXI, IIX äquivalent und entsprechen der dezimalen 12 (2*1+10).
In Additionssystemen fällt das Addieren von Zahlen recht leicht, da die Ziffern der Summanden einfach zu einer neuen Zahl zusammengezogen werden. Anschließend fasst man gegebenenfalls Gruppen von Ziffern zu höherwertigen Ziffern zusammen. Das Merken von Überträgen, wie es in Stellenwertsystemen notwendig ist, entfällt. Der Nachteil von Additionssystemen ist aber, dass Multiplikation, Bruchrechnung und allgemein höhere Mathematik schwierig zu bewerkstelligen sind. Insbesondere die Darstellung sehr großer Zahlen mit einem notwendigerweise endlichen Ziffernvorrat fällt schwer. Denn ist W der größte Ziffernwert, dann benötigt man zur Darstellung einer sehr großen Zahl Z wenigstens Z/W Ziffern. Der Zusammenhang zwischen Länge und Wert ist also (asymptotisch) linear – im Unterschied zu den Stellenwertsystemen, bei denen er logarithmisch ist.
Als Additionssystem bezeichne ich .... ein Notation, bei welcher der Wert jeder Ziffer von deren Position abhängt. Die Stellenwertnotation stammt wohl aus Indien, hier wurde sie durch die Bücher von Stellenwertnotation Eine verbreitete Alternative ist das Additionssystem, bei welchem der Wert jeder Ziffer ..... ===========Ein Stellenwertsystem, Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem ist ein Zahlensystem, bei dem die (additive) Wertigkeit eines Symbols von seiner Position, der Stelle, abhängt. Beispielsweise besitzen im weitverbreiteten Zehnersystem für den Beispiels-Wert „127“ die Ziffer „1“ den Wert 1 · 100, dazu addiert sich für die Ziffer „2“ der Wert 2 · 10 sowie für die „7“ 7 · 1 – die Symbole „1“, „2“ und „7“ besitzen eine Wertigkeit, die davon abhängt, an welcher Position/Stelle sie in der Zahl stehen. Unter der Annahme eines endlichen Vorrats an Symbolen (meist Ziffern oder Zahlzeichen genannt, im Beispiel „0“…„9“) hängt die Anzahl der erforderlichen Stellen logarithmisch von der Größe der dargestellten Zahl ab – im Unterschied zu Additionssystemen, bei denen dieser Zusammenhang (asymptotisch, d. h. für ganz große Zahlen) linear ist. Die Größe {\displaystyle b}b des Ziffernvorrats spielt eine entscheidende Rolle. Im Zehnersystem-Beispiel ist der Ziffernvorrat „0“ bis „9“, das sind {\displaystyle b=10}b=10 verschiedene Symbole. Bei den wichtigen ganzzahligen Systemen ist der Wert der dargestellten Zahl gleich die Summe der Produkte des jeweiligen Ziffernwerts mit seinem Stellenwert, also ein Polynom in {\displaystyle b}b mit den Werten der Ziffern als Koeffizienten; im Beispiel 127: Zahlenwert = „1“ · 102 + „2“ · 101 + „7“ · 100. Deshalb wird {\displaystyle b}b als Basis oder Grundzahl des Systems bezeichnet. Die Darstellung von Zahlen bezüglich einer Basis {\displaystyle b}b wird oft auch ihre {\displaystyle b}b-adische Darstellung (nicht zu verwechseln mit {\displaystyle p}p-adischen Zahlen) genannt. Jede ganze Zahl {\displaystyle b\geq 2}b\geq 2 eignet sich als Basis für ein Stellenwertsystem.[1] Beispiele für Stellenwertsysteme sind das im Alltag gewöhnlich gebrauchte Dezimalsystem (dekadisches System mit der Basis 10), das in der Datenverarbeitung häufig verwendete Dualsystem (dyadisches System mit der Basis 2), das Oktalsystem (mit der Basis 8), das Hexadezimalsystem (mit der Basis 16) sowie das Sexagesimalsystem (mit der Basis 60). Ein Beispiel für ein Zahlensystem, das kein Stellenwertsystem ist, ist das der römischen Ziffern. Es handelt sich dabei um ein Additionssystem.[ wp ] [ 16.10.26 ] |