Hyperkommunikation: Zahl

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Darüber, was eine Zahl ist, herrscht - nicht nur umgangssprachlich - begriffliches Chaos.
Im Mathematik-Duden kommt das Lemma "Zahl" - zunächst erstaunlicherweise - gar nicht vor. Auch im Informatik-Duden fehlt das Lemma.
In der Wikipedia steht: "Zahlen sind abstrakte mathematische Objekte beziehungsweise Objekte des Denkens, die sich historisch aus Vorstellungen von Größe und Anzahl entwickelten. Die Zahlen beruhen auf der Abzählbarkeit von Objekten, deren Unterscheidbarkeit naturgegeben ist. Durch eine Messung wird ein als Größe verstandener Aspekt einer Beobachtung mit einer Zahl in Verbindung gebracht, beispielsweise bei einer Zählung. Sie spielen daher für die empirischen Wissenschaften eine zentrale Rolle. In der Mathematik, die Zahlen und ihre Struktur formal untersucht, schließt der Begriff verschiedenartige Konzepte mit ein.
Mit den Anfang des 20. Jahrhunderts geschaffenen ersten zufriedenstellenden Grundlagen der Mathematik erfuhren auch die bedeutendsten Zahlbegriffe [RT: wobei ausgerechnet "Zahl" fehlt !!] eine dem heutigen Stand entsprechende vollständig formale Definition und Bedeutung.

  Zahl
  zählen
  Anzahl
  Zahldarstellung
  Zahlschrift
  Zahlwort
  Zahlzeichen

  Zahlung

Als Zahl bezeichne ich eine Hypostasierung zu zählen.

Als Zahl bezeichne ich eine Menge, deren Elemente ausschliesslich zählbar sind, also keinerlei Eigenschaften haben. Mit "2" bezeichne ich, dass die gemeinte Zahl eine Menge mit 2 Elementen ist. Zwei ist der Name der Menge.

Erläuterung:
Es geht also nicht darum, dass ich von vorhandenen Eigenschaften abstrahiere, wie das in volksdümmlichen Darstellungen von Mengen suggeriert wird.

Anzahl, Ziffern

Vom Begriff der Zahl abzugrenzen sind Ziffern (spezielle Zahlzeichen; zur Darstellung bestimmter Zahlen verwendete Schriftzeichen), Zahlschriften (Schreibweisen von Zahlen z. B. mit Hilfe von Ziffern unter Verwendung bestimmter Regeln), Zahlwörter (Numerale, zur Benennung bestimmter Zahlen verwendete Wörter) und Nummern (Identifikatoren, die selbst Zahlen, oder aber – in der Regel Ziffern enthaltende – Zeichenketten sein können).

Die Darstellung ist eine Mischung zwischen Additions- und Stellenwertsystem auf der Basis von Dezimalziffern. Eine Zahl wird als Summe von Termen der Form d × 10n dargestellt, wobei die Ziffern 0 bis 9 und die Zehnerpotenz jeweils durch eigene Schriftzeichen dargestellt werden. Die aus den Zeichen zusammengesetzten Zahlen sind identisch mit ausgeschriebenen Zahlwörtern der gesprochenen Sprache.

Als Zahl bezeichne ich differenztheoretisch die Differenz zwischen Zahl und Anzahl, wobei auf der Seite der Anzahl die Zahl insofern ein re-entry hat, als ich die Anzahl durch eine Zahl ausdrücke.

Ziffern sind Symbole, die ich einer Zahl zuordne. Eine Anzahl ist ein Resultat des Zählens.

Man kann Zahlen mengentheoretisch interpretieren: jede An-Zahl repräsentiert dann die Mächtigkeit einer Menge. Damit versteckt man die Zähl-Operation.

Zahlen können durch Zahlzeichen (Ziffern) oder durch Wörter dargestellt werden, etwa durch "5" oder "fünf".

Die Darstellung in der Stellenwertnotation, die Stellenwertsystem bezeichnet wird oder verkürzt als Zahlensystem.

Siehe auch Null, natürlich Zahlen und reelle Zahlen.

Siehe auch "arabische" Zahlen, Zahlendarstellung, Zahlschrift

Dass G. Hegel der Zahl ein Kapitel gewidmet hat, zeigt, dass das Wort nicht ohne weiteres vertanden wird (Wissenschaft der Logik (1812). Kapitel: A. Die Zahl.)

======== #Mathematik Sehr viele Missverständnisse beruhen darauf, das Rechnen und Mathmatik nicht unterschieden werden. In meiner Lebenswelt rechne ich. 2 Dinge und 3 Dingen sind 5 Dinge. Dazu brauche ich keine Mathematik, aber im Normalfall Dinge, die ich zählen kann. In der Schule - sie nennen es lernen statt belehren - musste ich schreibe und rechnen, ohne dass ich eine Grund dafür gehabt hatte. Im praktischen Leben mache ich das nicht. Mathematik behandelt, was in der Schule als Rechnen bezeichnet wird. Aber dabei keine Dinge. In der Physik dagegen gibt es Dinge (Zahlen repäsentieren Anzahlen von Dingen oder Sachen) ======= Wofür verwendest Du das Wort "Zahl"? Mit "Zahl" bezeichne ich Mengen, deren Elemente ausschliesslich zählbar sind, also keinerlei Eigenschaften haben. Es geht mithin um Mengen, bei welchen nicht unterscheidbare Element gezählt werden können, so dass eine Menge eben drei oder vier sein kann. Ich sehe nicht von Eigenschaften der Elemente ab, wenn ich sie zähle. Ich meine auch nicht, dass ich die Eigenschaften der Elemente gerade nicht berücksichtige. Die Elemente, von denen ich spreche, haben keine Eigenschaften. Wenn ich zwei sage, meine ich eine Menge von Elementen, die keine Eigenschaften haben. Wenn ich fünf sage, meine ich eine andere solche Menge. Die Menge unterscheiden sich darin, wie viele Elemente sie enthalten. Deshalb haben die Mengen verschiedene Bezeichnungen oder Namen, die ich eben Zahlen nenne. Die Elemente selbst unterscheiden sich durch nichts. Sie sind nicht gross oder klein, schwer oder leicht, rot oder grün. Es sind nicht Elemente, denen diese Eigenschaften fehlen, während ihnen andere zukommen. Sie haben überhaupt keine Eigenschaften. Mich kümmert nicht, dass Leibniz meinte, dass zwei Dinge in jeder Hinsicht völlig gleich sind, nicht zwei Dinge, sondern eines sind. Ich tangiere gerade etwas Mathematik-Geschichte, ohne mich für Mathematik zu interessieren. Die ZF-Mengenlehre versuchte das Russel-Problem auch damit zu lösen, dass sie eine Menge eingeführt hat. Diese Menge brauche ich nicht, ich hebe sie auf. Es geht hier nicht um Mengen, die Mengen sind, sondern um Mengen, die nichts ausser zählbar sind. Der vernünftige Menschenverstand wird vermutlich einwenden, dass etwas, das keine Eigenschaften hat, nicht einmal als etwas Bestimmtes gelten könne. Ich verwende das Wort «Zahl» aber nicht so, wie es sich aus einem philosophischen Prinzip oder aus einer mathematischen Mengenlehre ergeben müsste. Ich bestimme es von dem her, was ich wie ich das Wort verwende. Damit folge ich nicht einer Gebrauchsbedeutung im Sinne von Wittgenstein. Ich verwende das Wort nicht jedesmal beliebig anders. Zahlen sind für mich generell und immer Mengen von Elementen, die keine Eigenschaften haben. Ich behaupte damit nicht, irgendeine mathematische Lehre zu widerlegen. Ich stelle vielmehr eine Bestimmung des Wortes «Zahl» zur Diskussion, die sich nicht ohne Weiteres in bestehende mathematische oder philosophische Begriffe einordnen lässt. Dass sie dort nicht hineinpasst, ist kein Grund, sie aufzugeben. Vielmehr ist es ein Grund dafür genauer zu betrachten, wer das Wort weshalb wie verwendet. Es geht dabei nicht um Erkenntnistheorie, sondern um den je eigenen, aber reflektierten Sprachgebrauch. Ich frage also nicht: "Was ist die Zahl wirklich?" sondern: "Wofür verwende ich das Wort Zahl?" Dass die meisten Mathematiker sich nicht bewusst machen, wie sie das Wort "Zahl" verwenden, zeigt sich exemplarisch darin, dass sowohl im Mathematik-Duden als auch im Informatik-Duden das Lemma "Zahl" fehlt. Ich kann nicht annehmen, dass es zufällig vergessen wurde. ========================================= Zahl Mit "Zahl" bezeichne ich Mengen, deren Elemente ausschliesslich zählbar sind, also keinerlei Eigenschaften haben. Es geht als nicht um leere Mengen, sondern um Mengen, bei welchen nicht unterscheidbare Element gezählt werden können, so dass eine Menge eben 3 oder vier sein kann. Mich kümmert nicht, dass Leibniz meinte, dass zwei Dinge in jeder Hinsicht völlig gleich sind, nicht zwei Dinge, sondern eines sind. Ich schreibe gerade etwas Mathematik-Geschichte, ohne mich für Mathematik zu interessieren. Die ZF-Mengenlehre hat das Russel-Problem gelöst, aber dafür eine Menge eingeführt, die ich aufhebe. Es geht hier nicht um Mengen, die Mengen sind, sondern um Mengen, die nichts ausser zählbar sind. Es geht dabei nicht um Erkenntnistheorie, sondern darum, wie ich das Wort Zahl verwende und definiere. Hyperkommunikation und der radikale Konstruktivismus ersetzen Erkenntnistheorie durch Sprachgebrauch. Ich frage also nicht: "Was ist die Zahl wirklich?" sondern: "Wofür verwende ich das Wort Zahl?" ========== Zahl und Mengenlehre Ich schreibe gerade etwas Mathematik-Geschichte, ohne mich für Mathematik zu interessieren. Mich interessiert, wie Mathematiker sprechen. Mich interessiert also nicht, was eine Zahl - wirklich - ist, mich interessiert, wer das Wort Zahl wie verwendet. Meine Frage ist eigentlich ganz einfach: Gibt es in der Mengenlehre Mengen von Elementen, die keine Eigenschaften haben, also nur zählbar sind? ======== Zahl Mit "Zahl" bezeichne ich Mengen, deren Elemente ausschliesslich zählbar sind, also keinerlei Eigenschaften haben. Es geht als nicht um leere Mengen, sondern um Mengen, bei welchen nicht unterscheidbare Element gezählt werden können, so dass eine Menge eben 3 oder vier sein kann. Mich kümmert nicht, dass Leibniz meinte, dass zwei Dinge in jeder Hinsicht völlig gleich sind, nicht zwei Dinge, sondern eines sind. Ich schreibe gerade etwas Mathematik-Geschichte, ohne mich für Mathematik zu interessieren. Die ZF-Mengenlehre hat das Russel-Problem gelöst, aber dafür eine Menge eingeführt, die ich aufhebe. Es geht hier nicht um Mengen, die Mengen sind, sondern um Mengen, die nichts ausser zählbar sind. Es geht dabei nicht um Erkenntnistheorie, sondern darum, wie ich das Wort Zahl verwende und definiere. Hyperkommunikation und der radikale Konstruktivismus ersetzen Erkenntnistheorie durch Sprachgebrauch. Ich frage also nicht: "Was ist die Zahl wirklich?" sondern: "Wofür verwende ich das Wort Zahl?" ========= -->
Eine sehr ausführliche Diskussion auf den Punkt gebracht in Wofür verwendest Du das Wort „Zahl“? und viel LLM-Text dazu [ ]
[ Duden ]
[ Meyers Großes Konversations-Lexikon ]
[ Hegel und Euklid ]
[ wp ] [ 16.10.26 ]