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Als Mengenlehre bezeichne ich eine grundlegende Lehre zur Mathematik, die von G. Cantor entwickelt wurde und nach der Grundlagenkrise der Mathematik, die zu Beginn des 20. Jahrhunderts durch B. Russell ausgelöst wurde, sich allmählich als "Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre" zum herrschenden Paradigma entwickelt hat, nachdem die Mengenlehre mit verschiedenen Antinomien zu kämpfen hatte.

G. Cantor führte den Ausdruck "Menge" erst 1895 ein, nachdem er seine Axiomatik bereits mit anderen Wörtern weit entwickelt hatte. Der Ausdruck "Menge" scheint recht zufällig - und eben nicht sehr sinnvoll - gewählt, weil in der Umgangssprache "Menge" für "viel" benutzt wird.
„Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen“ G. Cantor.

Handlicher und erfolgreicher war dagegen die von E. Zermelo 1907 entwickelte axiomatische Mengenlehre, die er gezielt zur widerspruchsfreien Begründung der Mengenlehre von Cantor und Dedekind schuf. Abraham Fraenkel bemerkte 1921, dass dazu zusätzlich sein Ersetzungsaxiom nötig sei. Zermelo fügte es in sein Zermelo-Fraenkel-System von 1930 ein, das er kurz ZF-System nannte. Er konzipierte es auch für Urelemente, die keine Mengen sind, aber als Mengenelemente in Frage kommen und Cantors „Objekte unserer Anschauung“ einkalkulieren. Die heutige Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist dagegen nach Fraenkels Vorstellung eine reine Mengenlehre, deren Objekte ausschließlich Mengen sind.


 
[Große Verwirrung]
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