Der Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion. In geometrischer Sprache ist die Ableitung eine verallgemeinerte Steigung. Der geometrische Begriff Steigung ist ursprünglich nur für lineare Funktionen definiert, deren Funktionsgraph eine Gerade ist. Die Ableitung einer beliebigen Funktion an einer Stelle x0 definiert man als die Steigung der Tangenten im Punkt (x0;f(x0)) des Graphen von f. In arithmetischer Sprache gibt die Ableitung einer Funktion f für jedes x an, wie groß der lineare Anteil der Änderung von f(x) ist (die Änderung 1. Ordnung), wenn sich x um einen beliebig kleinen Betrag ?x ändert. Für die exakte Formulierung dieses Sachverhalts wird der Begriff Grenzwert (oder Limes) verwendet. Beispiel: In einer klassischen physikalischen Anwendung liefert die Ableitung der Orts- oder Weg-Zeit-Funktion nach der Zeit die Momentangeschwindigkeit eines Teilchens.

Streit um Erfinderrechte zwischen G. Leibniz und I. Newton

Durch Summation von Reihen gelangte G. Leibniz 1675 zur Integral- und von dort zur Differentialrechnung; er dokumentierte seine Erfindung 1684 mit einer Veröffentlichung in den acta eruditorum. Nach heutigen Maßstäben (Priorität der Erstveröffentlichung) würde er als alleiniger Erfinder der Infinitesimalrechnung gelten; diese Betrachtung ist jedoch anachronistisch, da wissenschaftliche Kommunikation im 17. Jahrhundert primär mündlich und per Briefwechsel erfolgte. Bleibendes Verdienst von Leibniz ist insbesondere die heute noch übliche Notation von Differentialen (mit einem Buchstaben d von lat. differentia), Differentialquotienten (dx/dy) und Integralen (; das Integralzeichen ist abgeleitet aus dem Buchstaben S von lat. summa).

Der englische Naturwissenschaftler I. Newton hatte die Grundzüge der Infinitesimalrechnung bereits 1666 entwickelt. Jedoch veröffentlichte er seine Ergebnisse erst 1687. Daraus entwickelte sich Jahrzehnte später der vielleicht berühmteste Prioritätsstreit der Wissenschaftsgeschichte, der bis heute nicht eindeutig entschieden ist: Man kann nicht genau sagen, in welchem Stadium seiner zweifellos eigenständigen Entwicklung Leibniz welche Newton-Briefe gesehen hat und welchen Vorteil er daraus gezogen hat. Die ersten Pamphlete, in denen Leibniz beziehungsweise Newton beschuldigt wurden, den jeweils anderen plagiiert zu haben, erschienen 1699 und 1704. Im Jahr 1711 brach der Streit in voller Schärfe aus. Die Royal Society verabschiedete 1712 einen Untersuchungsbericht, der von Newton selbst fabriziert worden war; Johann Bernoulli antwortete 1713 mit einem persönlichen Angriff auf Newton. Der Streit wurde über Leibniz' Tod hinaus fortgeführt und vergiftete die Beziehungen zwischen englischen und kontinentalen Mathematikern über mehrere Generationen hinweg. Schaden nahm vor allem die Entwicklung der Mathematik in England, die lange an den technisch unterlegenen Newtonschen Notationen festhielt.